(2006•辽宁)已知正方形ABCD.E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C

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  • 解题思路:(1)根据直线与平面平行的判定定理可知,只要在平面ADE内找到与直线BF平行的直线就可以了,易证四边形EBFD为平行四边形;

    (2)判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,可以从两种角度去思考:

    方法一:过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,然后证明射影G在直线EF上.

    方法二:连接AF,在平面AEF内过点作AG′⊥EF,垂足为G′.然后再证明AG′⊥平面BCDE,即G′为A在平面BCDE内的射影G.

    二面角的度量关键在于找出它的平面角,构造平面角常用的方法就是三垂线法.由前面“判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上”可知:AG⊥平面BCDE,所以过G作GH垂直于ED于H,连接AH,则AH⊥DE,所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ

    (Ⅰ)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

    ∵EB∥FD,且EB=FD,

    ∴四边形EBFD为平行四边形.

    ∴BF∥ED

    ∵EF⊂平面AED,而BF⊄平面AED

    ∴BF∥平面ADE.

    (Ⅱ)解法1:

    如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

    过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连接GC,GD.

    ∵△ACD为正三角形,

    ∴AC=AD

    ∴CG=GD

    ∵G在CD的垂直平分线上,

    ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

    过G作GH垂直于ED于H,连接AH,则AH⊥DE,

    所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ

    设原正方体的边长为2a,连接AF

    在折后图的△AEF中,AF=

    3a,EF=2AE=2a,

    即△AEF为直角三角形,AG•EF=AE•AF

    ∴AG=

    3

    2a

    在Rt△ADE中,AH•DE=AE•AD

    ∴AH=

    2

    5a

    ∴GH=

    a

    2

    5

    cosθ=

    GH

    AH=

    1

    4.

    解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

    连接AF,在平面AEF内过点作AG′⊥EF,垂足为G′.

    ∵△ACD为正三角形,F为CD的中点,

    ∴AF⊥CD

    又因EF⊥CD,

    所以CD⊥平面AEF

    ∴CD⊂平面BCDE

    ∴平面AEF⊥平面BCDE

    又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF

    ∴AG′⊥平面BCDE

    ∴G′为A在平面BCDE内的射影G.

    即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

    过G作GH垂直于ED于H,连接AH,则AH⊥DE,

    所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ

    设原正方体的边长为2a,连接AF

    在折后图的△AEF中,AF=

    3a,EF=2AE=2a,

    即△AEF为直角三角形,AG•EF=AE•AF

    ∴AG=

    3

    2a

    在Rt△ADE中,AH•DE=AE•AD

    ∴AH=

    2

    5a

    ∴GH=

    a

    2

    5

    cosθ=

    GH

    AH=

    1

    4.

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题.

    考点点评: 本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.