解题思路:(1)根据直线与平面平行的判定定理可知,只要在平面ADE内找到与直线BF平行的直线就可以了,易证四边形EBFD为平行四边形;
(2)判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,可以从两种角度去思考:
方法一:过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,然后证明射影G在直线EF上.
方法二:连接AF,在平面AEF内过点作AG′⊥EF,垂足为G′.然后再证明AG′⊥平面BCDE,即G′为A在平面BCDE内的射影G.
二面角的度量关键在于找出它的平面角,构造平面角常用的方法就是三垂线法.由前面“判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上”可知:AG⊥平面BCDE,所以过G作GH垂直于ED于H,连接AH,则AH⊥DE,所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ
(Ⅰ)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
∵EB∥FD,且EB=FD,
∴四边形EBFD为平行四边形.
∴BF∥ED
∵EF⊂平面AED,而BF⊄平面AED
∴BF∥平面ADE.
(Ⅱ)解法1:
如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连接GC,GD.
∵△ACD为正三角形,
∴AC=AD
∴CG=GD
∵G在CD的垂直平分线上,
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连接AH,则AH⊥DE,
所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ
设原正方体的边长为2a,连接AF
在折后图的△AEF中,AF=
3a,EF=2AE=2a,
即△AEF为直角三角形,AG•EF=AE•AF
∴AG=
3
2a
在Rt△ADE中,AH•DE=AE•AD
∴AH=
2
5a
∴GH=
a
2
5
cosθ=
GH
AH=
1
4.
解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连接AF,在平面AEF内过点作AG′⊥EF,垂足为G′.
∵△ACD为正三角形,F为CD的中点,
∴AF⊥CD
又因EF⊥CD,
所以CD⊥平面AEF
∴CD⊂平面BCDE
∴平面AEF⊥平面BCDE
又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF
∴AG′⊥平面BCDE
∴G′为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连接AH,则AH⊥DE,
所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ
设原正方体的边长为2a,连接AF
在折后图的△AEF中,AF=
3a,EF=2AE=2a,
即△AEF为直角三角形,AG•EF=AE•AF
∴AG=
3
2a
在Rt△ADE中,AH•DE=AE•AD
∴AH=
2
5a
∴GH=
a
2
5
cosθ=
GH
AH=
1
4.
点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
考点点评: 本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.