Question

微分方程xy'-y-根号下(x^2+y^2)=0的通解.

Answer 1

这题出现了x^2+y^2,可能在极坐标系下求解比较容易

x=r*cosθ y=r*sinθ

极坐标系下dx=cosθ dr-sinθ rdθ dy=sinθ dr+cosθ rdθ

方程化为rcosθ *(sinθ dr+cosθ rdθ)/(cosθ dr-sinθ rdθ ) -r*sinθ-r=0

化简为dr/r = dθ*(1+sinθ)/cosθ

右边=dθ* cosθ*(1+sinθ)/(cosθ)^2=d(sinθ)/(1-sinθ)

dr/r =d(sinθ)/(1-sinθ)

积分得：exp(r)=-exp(C*(1-sinθ))

r=C/(1-sinθ) (C为常量)

sinθ=y/r ,r=sqrt(x^2+y^2)

化会直角坐标系 sqrt(x^2+y^2) = C/(1-y/sqrt(x^2+y^2))

即 sqrt(x^2+y^2) -y =C

在计算过程中,可能舍掉了一些解,也可能多求了一些解,还得再仔细算算