(2007•安徽)定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-

2个回答

  • 解题思路:分别分析(0,T)和(-T,0)函数的根的数量.

    因为函数是奇函数,所以在闭区间[-T,T],一定有f(0)=0,

    ∵T是f(x)的一个正周期,所以f(0+T)=f(0)=0,即f(T)=0,所以f(-T)=-f(T)=0,

    ∴-T、0、T是f(x)=0的根,若在(0,T)上没有根,则恒有f(x)>0或f(x)<0;

    不妨设f(x)>0,则x∈(-T,0)时,f(x)<0,但又有f(x)=f(x+T)>0,矛盾.

    ∴f(x)=0在(0,T)上至少还有一个根.由于f(-[t/2])=-f([t/2])=f([t/2]),∴f(−

    t

    2)=f(

    t

    2)=0

    同理,在(-T,0)上也至少还有一个根,

    ∴至少有5个根.

    故选D

    点评:

    本题考点: 函数奇偶性的性质;函数的周期性.

    考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性.在本题中注意推论的严密性.