分析：这是一个很典型的不等式问题,下面介绍两种思路自然、简洁明了的证法．两种证法都源于对变元地位的分析．由于已知条件实质是两个约束条件,因此自由变元为两个,于是左右两边可看作是自由变元的函数,实现问题的转换．
把左右两边均看作x3、x4的函数,因此左边关于x3、x4的最大值为(x1＋3x2)2,右边关于x3、x4的最小值为16x1x2,因此问题转化为证明不等式(x1＋3x2)2≤16x1x2．
而上式的证明是十分容易的．事实上
16x1x2－(x1＋3x2)2==(9x2－x1)( x1－x2)
≥(9x2－x2－x3－x4)( x1－x2)≥0．
令x1=k(x2＋x3＋x4),则
这时原不等式变形为
上式左边是关于x3、x4的方程,其最大值为右边关于x3、x4的方程,其最小值为4x2,因此要证上式成立,只需证明
这里只要注意到上是减函数立得
得证．
因此,(x1＋x2＋x3＋x4)2≤4 x1x2x3x4．