设函数,其中常数a>1,f(x)=[1/3]x3-(1+a)x2+4ax+24a

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  • 解题思路:(1)先对函数进行求导,根据导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性.

    (2)先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题,再结合(1)中的单调性可确定f(x)在x=2a或x=0处取得最小值,求出最小值,即可得到a的范围.

    (1)f'(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)

    由a>1知,当x<2时,f'(x)>0,

    故f(x)在区间(-∞,2)是增函数;

    当2<x<2a时,f'(x)<0,

    故f(x)在区间(2,2a)是减函数;

    当x>2a时,f'(x)>0,

    故f(x)在区间(2a,+∞)是增函数.

    综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,

    在区间(2,2a)是减函数.

    (2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.

    f(2a)=

    1

    3(2a)3−(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=−

    4

    3a3+4a2+24a,f(0)=24a

    由假设知

    a>1

    f(2a)>0

    f(0)>0

    a>1

    4

    3a(a+3)(a−6)>0

    24a>0.解得1<a<6

    故a的取值范围是(1,6)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.

    考点点评: 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性.