如图,已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高CD上,E,F分别是边AC和BC上的中点,试判断四边形CEDF的

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  • 解题思路:由垂径定理知,点D是AB的中点,有AD=BD,可证△CAD≌△CBD,可得AC=BC;由E,F分别为AC,BC的中点,D为AB中点,得DF=CE=[1/2]AC,DE=CF=[1/2]BC,即DE=DF=CE=CF,从而可得四边形CEDF为菱形.

    四边形CEDF为菱形.

    证明:∵AB为弦,CD为直径所在的直线且AB⊥CD,

    ∴AD=BD,∠ADC=∠CDB,

    在△ADC和△BDC中

    AD=BD

    ∠ADC=∠BDC

    CD=CD,

    ∴△CAD≌△CBD(SAS),

    ∴AC=BC;

    又∵E,F分别为AC,BC的中点,D为AB中点,

    ∴DF=CE=[1/2]AC,DE=CF=[1/2]BC,

    ∴DE=DF=CE=CF,

    ∴四边形CEDF为菱形.

    点评:

    本题考点: 三角形的外接圆与外心;等腰三角形的判定与性质;菱形的判定;垂径定理.

    考点点评: 此题考查了垂径定理、三角形全等、三角形中位线的性质以及菱形的判定.根据垂径定理得出AD=BD是解题关键.