Question

已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)相交于A.B两点,且OA⊥OB（其中O为坐标原

Answer 1

1)

x²/a²+y²/b²=1

y=-x+1

联立

x²/a²+(-x+1)²/b²=1

b²x²+a²(-x+1)²=a²b²

(a²+b²)x²-2a²x+a²-a²b²=0

由韦达定理

x1+x2=2a²/(a²+b²)

x1x2=(a²-a²b²)/(a²+b²)

k(OA)k(OB)

=y1/x1*y2/x2

=(y1y2)/(x1x2)

=[(-x1+1)(-x2+1)]/(x1x2)

=[x1x2-(x1+x2)+1]/(x1x2)

=[a²-a²b²-2a²+a²+b²]/(2a²)

=(b²-a²b²)/(2a²)

=-1

又离心率e=c/a=√3/3

b=√6/3*a

带入上式

2/3*a²-a²*(2/3)*a²=-2a²

解出a²=4

b²=8/3

椭圆方程为

x²/4+3y²/8=1

2)去掉离心率呢为√3/3的条件,

应该满足(b²-a²b²)/(2a²)=-1

b²-a²b²=-2a²

2a²+b²=a²b²

1/a²+2/b²=1

所以恒经过第一象限内的点(1,√2)

如仍有疑惑,欢迎追问.