Question

已知函数f（x）=ax-1（a＞0且a≠1）

Answer 1

解题思路：（1）函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，可得a^3-1=4，由此求出a；

（2）本题要根据指数函数的单调性比较大小，要解决两个问题一是自变量的大小，由于

lg

1

100

=-2，故自变量大小易比较，另一问题是函数的单调性，由于底数a的取值范围不确定，需对参数a的取值范围进行讨论以确定函数的单调性，在每一类下比较大小．

（3）由f（lga）=100知，a^lga-1=100，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得（lga-1）•lga=2，解此方程先求lga，再求a．

（1）∵函数y=f（x）的图象经过P（3，4）

∴a^3-1=4，即a²=4．（2分）

又a＞0，所以a=2．（4分）

（2）当a＞1时，f(lg

1

100)＞f(−2.1)；

当0＜a＜1时，f(lg

1

100)＜f(−2.1)．（6分）

因为，f(lg

1

100)＝f(−2)＝a−3，f（-2.1）=a^-3.1

当a＞1时，y=a^x在（-∞，+∞）上为增函数，

∵-3＞-3.1，∴a^-3＞a^-3.1．

即f(lg

1

100)＞f(−2.1)．

当0＜a＜1时，y=a^x在（-∞，+∞）上为减函数，

∵-3＞-3.1，∴a^-3＜a^-3.1．

即f(lg

1

100)＜f(−2.1)．（8分）

（3）由f（lga）=100知，a^lga-1=100．

所以，lga^lga-1=2（或lga-1=log_a100）．

∴（lga-1）•lga=2．

∴lg²a-lga-2=0，（10分）

∴lga=-1或lga=2，

所以，a＝

1

10或a=100．（12分）

点评：

本题考点： 指数函数单调性的应用；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的图像与性质．

考点点评： 本题考点是指数函数单调性的应用，考查了求指数函数解析式，利用单调性比较大小，以及解指数与对数方程，本题涉及到的基础知识较多，综合性较强，在本题中解指数与对数方程时用到了两边取对数将指数方程转化为一元二次方程求解，这是此类方程求解时专用的一个技巧，要好好总结其运用规律．