Question

一、已知椭圆的焦点是F1(0,-1)和F2(0,1)，离心率e=1/2 （1）求此椭圆的标准方程 （2）设点p在此椭圆上

Answer 1

一、(1)设椭圆的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1,由题知，c=1, e=c/a=1/a=1/2,a=2 b^2=a^2-c^2=2*2-1*1=3 所以椭圆的方程是x^2/4+y^2/3=1。 (2)|PF1|+|PF2|=2a=4且)PF1|+|PF2|=1,解得|PF1|=5/2,|PF2|=3/2； |F1F2|=2c=2， 根据余弦定理： cos∠F1PF2=(|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2)/2|PF1|*|PF2|=[(5/2)^2+(3/2)^2-2^2]/(2*(5/2)*(3/2)=3/5 二、e^2=(c/a)^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1-(b^2)/(a^2)=3/4 解得：a^2=4b^2 因为直线过A(a,0),B(0,-b),根据直线截距式设直线为：x/a-y/b=1 根据点到直线距离公式，|-1|/√(1/a^2+1/b^2)=4√5/5 把a^2=4b^2代入|-1|/√(1/a^2+1/b^2)=4√5/5，整理得，√(1/4b^2+1/b^2)=√5/4,解得b^2=4,a^2=4b^2=16 椭圆方程：x^2/16+y^2/4=1