Question

（2014•保定二模）直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点为抛物线x2=4y的焦点，

Answer 1

解题思路：利用抛物线方程求得焦点坐标，即AB的中点，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂求得k，则直线方程可得．

由抛物线方程知2p=4，p=2，

∴抛物线焦点F坐标为（0，1），

当直线l斜率不存在时，x=0带入圆方程求得y=2±

3，则

2+

3+2−

3

2=2，此时AB的中点不在F点，

∴直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1，带入圆的方程得，

（k²+1）x²+（2-2k）x-2=0，

∵弦AB的中点F坐标为（0，1），

∴[1/2]（x₁+x₂）=

2−2k

k2+1=0，

∴k=1，

∴直线l的方程为y=x+1，即x-y+1=0．

故选：D．

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．解决此类问题常设出直线方程与圆锥曲线联立，利用韦达定理采取设而不求的方式，来解决问题．