首先说一下,第二句没有省去that,第二句的结构是feel sth+形容词的结构,如果是省去that的话,后面应该是I feel it is necessary to make a correction.(feel+that从句)
第一句话feel确实是系动词,但是后面是宾语从句,至于that可不可以省略,你可以看看下面的详细说明：
当that作feel的宾语时,下面的情况不可以省略.
当宾语从句较长时;
当主语状语置于主句尾,宾语从句之前时;
当主语谓语动词(包括非谓语动词)与宾语从句之间有插入语时;
当一个动词带有两个或两个以上宾语从句时,此时第一个that可以省略,第二个that不可以省略;
当宾语从句中的主语是this,that或this,that做主语的定语时;
当宾语从句是双宾语中的直接宾语时;
当宾语从句的主语是非谓语动词或主语从句时;
当宾语从句有it做其先行词时;
在直接引语中,转述分句把宾语从句隔开时.
所以第一句的that是不要省略的,读得也通畅,很多时候英语是靠语感的,