Question

若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k；（2）an+1=an+1或an+1=2an，（n=1，2，…，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据数列{a_n}为k的m阶数列的定义可得一个10的6阶数列为：1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．

（Ⅱ）由已知在数列{a_n}中 a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，当a_n为偶数时，只需 a_n-1=

a

n

2

（a_n≥2）．当a_m为奇数时，必然有 a_n-1=a_n-1，（a_n≥2），a_n-1是偶数，可继续重复上面的操作．

所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．由此可得 m=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_l-b_l-1）+（l-1）+1=b_l+l．

（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．…（2分）

（Ⅱ）由已知在数列{a_n}中 a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，

当a_n为偶数时，a_n-1=

an

2 （a_n≥2），或 a_n-1=a_n-1．

因为

an

2≤a_n-1 （a_n≥2），所以在数列{a_n}中 1≤a_i≤

an

2中i的个数不多于 1≤a_j≤a_n-1 中j的个数，

当要使项数m最小，只需 a_n-1=

an

2 （a_n≥2）．…（5分）

当a_m为奇数时，必然有 a_n-1=a_n-1，（a_n≥2），a_n-1是偶数，可继续重复上面的操作．

所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．

因为a_n=k＝2b1+2b2+2b3+…2bl(l∈N)，且 0≤b₁＜b₂＜b₃＜…＜b_l，

只需除以2b1，得到 1+2b2−b1+2b3−b1+…+2bl−b1 为奇数；

减1，得到 2b2−b1+2b3−b1+…+2bl−b1 为偶数，

再除以 2b2−b1，得到 1+2b3−b2+2b4−b2+…+2bl−b2 为奇数；

再减1，得到 2b3−b2

点评：

本题考点： 数列的函数特性．

考点点评： 本题主要考查数列的函数特性，k的m阶数列的定义，属于难题．