解题思路：（1）过M作MF⊥AB于F，证△MFA∽△BOA，推出[AM/AB]=[MF/OB]，代入求出MF，即可得出直线AB是小⊙M的切线．
（2）设经过t秒后两圆相切，则两圆的新圆心均可以表示出来，在分两种情况讨论：外切与内切，根据两圆相切时半径的关系即可求解．
（3）作辅助线连接BM和EM，则在△BCM中，∠BCM=60°，同理∠EMA=60°，∴∠BME=60°，证P、B、M、E四点共圆，推出∠PBE=∠PME，证出△PNE是等边三角形，推出PE=EN，∠PEN=60°，求出∠ENM=∠EPB，证△PBE≌△NME，推出MN=PB，
由此可容易得出PB、PE、PM三者之间的数量关系．
（1）∵直线y=-
3
3x+
3与两坐标轴交于A、B，∴A（3，0），B（0，
3），MO=1，
过M作MF垂直AB于F，
则∠MFA=∠BOA=90°，
∵∠FAM=∠OAB，
∴△MFA∽△BOA，
∴
AM
AB=
MF
OB，
∵A（3，0），B（0，
3），M（1，0），
∴OA=3，OB=
3，OM=1，
∴AM=3-1=2，由勾股定理得：AB=2
3，
∴
2
2
3=
MF
3，
MF=1=OM，
∵MF⊥AB，
∴直线AB是小⊙M的切线．
（2）小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移，圆心M（1，0），则移动t秒后的圆心变为（2t+1，0）；
因为B（0，
3），M（1，0），
所以直线BM的解析式为：y=-
3x+
3，
又因为大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移，圆心M（1，0），则移动t秒后的圆心变为（1+
1
2t，-
3
2t），
①当两圆外切时，两圆心距离为两圆半径的和即：
3
4t2+
9
4t2=OM+MA=OA=3，
解得t=
3秒，
②当两圆内切时，两圆心距离为两圆半径的差即：
3
4t2+
9
4t2=1，
解得t=
3
3秒，
（3）
如下图作辅助线：ME=2，OB=
3，在△BCM中，∠BMO=60°，同理∠EMA=60°，
则∠BME=60°，
又∵∠EPB=120°，
∴∠EPB+∠BME=180°，
∴PBME四点共圆，
∵BM=ME，
∴∠BPM=∠EPM=60°，
在PM上截取PN=PE，连接NE，
∵∠EPM=60°，PE=PN，
∴△PNE是等边三角形，
∴PE=EN，∠PEN=60°，
∴∠ENM=60°+60°=120°=∠EPB，
∵∠PBE=∠NME（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
在△PBE和△NME中
∵
∠EPB＝∠MNE
∠PBE＝∠EMN
PE＝EN，
∴△PBE≌△NME（AAS），
∴PB=NM，
∴PM=PN+NM=PE+PB．
∴PB、PE、PM三者之间的数量关系为：PM=PB+PE．
点评：
本题考点： 一次函数综合题；四点共圆；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定．
考点点评： 本题考查的知识点比较多，题目比较综合适合作为压轴题出现，难度较大，做题时要认真分析综合所学的知识仔细求解．