Question

已知椭圆 ＝1(a＞b＞c＞0，a 2 ＝b 2 ＋c 2 )的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，若以F 2 为圆心，

Answer 1

已知椭圆

＝1(a＞b＞c＞0，a ²＝b ²＋c ²)的左、右焦点分别为F ₁，F ₂，若以F ₂为圆心，b－c为半径作圆F ₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为

(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

≤e＜

因为PT＝

(b＞c)，而PF ₂的最小值为a－c，所以PT的最小值为

.依题意有，

≥

(a－c)，

所以(a－c) ²≥4(b－c) ²，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c) ²≥4(a ²－c ²)，

所以5c ²＋2ac－3a ²≥0，所以5e ²＋2e－3≥0　①.

又b＞0，所以b ²＞c ²，所以a ²－c ²＞c ²，

所以2e ²＜1②，联立①②，得

≤e＜

.