已知命题p:∃x∈[0,1],k•4x-k•2x+1+6(k-5)=0.若命题p是假命题,则实数k的取值范围是_____

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  • 解题思路:非p:对一切x∈[0,1],都有k•4x-k•2x+1+6(k-5)≠0是真命题,构造函数f(x)=k•4x-k•2x+1+6(k-5),利用二次函数的性质,可知f(x)在区间[0,1]没有零点,

    可以求出k的范围;

    由已知,命题非p:对一切x∈[0,1],k•4x-k•2x+1+6(k-5)≠0在x∈[0,1]有解是真命题,

    构造函数f(x)=k•4x-k•2x+1+6(k-5),则f(x)=k•4x-k•2x+1+6(k-5),在区间[0,1]没有零点,

    令2x=t≥0,可得f(x)=kt2-2kt+6(k-5)=k(t-1)2+5k-30,其对称轴为x=1,∴f(x)在区间[0,1]上是单调的,

    要求f(x)=k•4x-k•2x+1+6(k-5),在区间[0,1]没有零点,

    ∴f(0)×f(1)>0,即5(k-6)×6(k-5)>0,

    ∴k>6或k<5

    即实数k的取值范围是(-∞,5)∪(6,+∞),

    故答案为(-∞,5)∪(6,+∞).

    点评:

    本题考点: 特称命题.

    考点点评: 此题考查了二次函数的性质,还考查了转化化归的思想与转化的技巧,对知识熟练程度与知识的衔接要求较高.