Question

（本小题满分12分）在等比数列 中，

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a _n}的公比为q，依题意

∴a _n＝2·2 ^{n －1}＝2 ⁿ． …4分

（Ⅱ）S _n＝

＝2(2 ⁿ－1)，…6分

所以

S ₁＋2S ₂＋…＋nS _n＝2[(2＋2·2 ²＋…＋n·2 ⁿ)－(1＋2＋…＋n)]，

设T _n＝2＋2·2 ²＋…＋n·2 ⁿ，①

则2T _n＝2 ²＋2·2 ³＋…＋n·2 ^{n ＋1}，②

①－②，得

－T _n＝2＋2 ²＋…＋2 ⁿ－n·2 ^{n ＋1}＝

－n·2 ^{n ＋1}＝(1－n)2 ^{n ＋1}－2，

∴T _n＝(n－1)2 ^{n ＋1}＋2，…9分

∴S ₁＋2S ₂＋…＋nS _n＝2[(n－1)2 ^{n ＋1}＋2]－n(n＋1)

＝(n－1)2 ^{n ＋2}＋4－n(n＋1)．…12分

本题考查等比数列的通项公式和数列求和问题。考查学生的计算能力和分析问题的能力，第一问利用基本量思想解决，第二问主抓数列的通项公式采用分组求和的方法求解.