Question

设函数f（x）=lg（x2+ax-a-1），给出如下命题：

Answer 1

解题思路：对于复合函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），通常分解成两个简单函数加以讨论，一是：y=lgu；另一个是：u=x²+ax-a-1；欲求函数f（x）的最小值、值域、有没有反函数及单调性，只要看u有没有最小值、值域、有没有反函数、单调性即可，即利用复合函数的性质去研究原函数的性质．

令u=x²+ax-a-1=（x+[a/2]）²-

a2

4-a-1≥-

a2

4-a-1．

又u＞0，故u没有最小值，所以①错误；

当a=0时，u=x²-1∈[-1，+∞），

而（0，+∞）⊆[-1，+∞），所以②正确；

当a＞0时，u=x²+ax-a-1的对称轴为x=-[a/2]＜0，[2，+∞）为单调递增区间，

当x∈[2，+∞）时，f（x）有反函数，所以③正确；

对于④应有

−

a

2≤2

22+2a−a−1＞0⇒a＞-3，

所以④错误，综上所述，只有②③正确．

点评：

本题考点： 反函数；复合函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了复合函数的单调性、反函数及对数函数的性质，属于中档题．