(2014•武汉模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)+mx(m∈R).

1个回答

  • (Ⅰ)由题设,函数的定义域为(-1,+∞),且f′(x)=

    1

    x+1+m,

    ∵当x=1时,函数f(x)取得极大值,

    ∴f′(1)=0,得m=-

    1

    2,此时f′(x)=

    1-x

    2(x+1),

    当x∈(-1,1)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增;

    当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.

    ∴函数f(x)在x=1处取得极大值时,m=-

    1

    2;

    (Ⅱ)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-

    f(x1)-f(x2)

    x1-x2(x-x1)-f(x1),

    则h′(x)=f′(x)-

    f(x1)-f(x2)

    x1-x2.

    ∵函数f(x)在区间(x1,x2)上可导,则根据结论可知:存在x0∈(x1,x2),

    使得f′(x0)=

    f(x1)-f(x2)

    x1-x2.

    又f′(x)=

    1

    x+1+m,

    ∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=

    1

    x+1-

    1

    x0+1=

    x0-x

    (x+1)(x0+1),

    ∴当x∈(x1,x0)时,h′(x)>0,从而h(x)单调递增,h(x)>h(x1)=0;

    当x∈(x0,x2)时,h′(x)<0,从而h(x)单调递减,h(x)>h(x2)=0;

    故对任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x);

    (Ⅲ)证明:∵λ12=1,且λ1>0,λ2>0,x2>x1>-1,

    ∴λ1x12x2-x1=x1(λ1-1)+λ2x22(x2-x1)>0,

    ∴λ1x12x2>x1

    同理λ1x12x2<x2

    ∴λ1x12x2∈(x1,x2).

    由(Ⅱ)知对任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x),

    从而f(λ1x12x2)>

    f(x1)-f(x2)

    x1-x2(λ1x1+λ2x2-x1