(Ⅰ)由题设,函数的定义域为(-1,+∞),且f′(x)=
1
x+1+m,
∵当x=1时,函数f(x)取得极大值,
∴f′(1)=0,得m=-
1
2,此时f′(x)=
1-x
2(x+1),
当x∈(-1,1)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
∴函数f(x)在x=1处取得极大值时,m=-
1
2;
(Ⅱ)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2(x-x1)-f(x1),
则h′(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2.
∵函数f(x)在区间(x1,x2)上可导,则根据结论可知:存在x0∈(x1,x2),
使得f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2.
又f′(x)=
1
x+1+m,
∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=
1
x+1-
1
x0+1=
x0-x
(x+1)(x0+1),
∴当x∈(x1,x0)时,h′(x)>0,从而h(x)单调递增,h(x)>h(x1)=0;
当x∈(x0,x2)时,h′(x)<0,从而h(x)单调递减,h(x)>h(x2)=0;
故对任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x);
(Ⅲ)证明:∵λ1+λ2=1,且λ1>0,λ2>0,x2>x1>-1,
∴λ1x1+λ2x2-x1=x1(λ1-1)+λ2x2=λ2(x2-x1)>0,
∴λ1x1+λ2x2>x1,
同理λ1x1+λ2x2<x2,
∴λ1x1+λ2x2∈(x1,x2).
由(Ⅱ)知对任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x),
从而f(λ1x1+λ2x2)>
f(x1)-f(x2)
x1-x2(λ1x1+λ2x2-x1