三个解法∶解法一：三角代换
设x=Rcost,y=Rsint,则x²+y²=R²
由已知x²+2xy-y²=7可得
R²【[cos²(2t)-sin²(2t)]+2sintcost】=7
R²【cos(2t)+sin(2t)】=7
R²·√2sin(2t+45°)=7
当sin(2t+45°)取最大值1时,x²+y²=R²有最小值(7/2)√2
注：asint+bcost=√(a²+b²) sin(t+γ) 【tanγ=b/a】
解法二：判别式法
设x²+y²=S,则x²+2xy-y²=7(x²+y²)/S
即 (S-7)x²+2Sxy-(S+7)y²=0
1）当y=0时,x²=7,x²+y²=S=7
2）当y≠0时,上式化为(S-7)(x/y)²+2S(x/y)-(S+7)=0 【两边同除以y²】
①S=7时,x²=7/5,y²=28/5
②S≠7时,△=4S²+4(S+7)(S-7)≥0
S²≥49/2,S≥(7/2)√2
所以x²+y²最小值(7/2)√2
解法三：利用待定系数法构造均值不等式
对2xy放缩：
2xy=2·(kx)·(y/k)≤k²x²+(y²/k²)
∴x²+k²x²+(y²/k²)-y²≥x²+2xy-y²=7
即 (k²+1)x²+[(1/k²)-1]y²≥7
构造 k²+1=(1/k²)-1,
即k²=√2-1时
有 √2x²+√2y²≥7
x²+y²≥(7/2)√2∴当(√2-1)x=y/(√2-1)时取等号
∴x²+y²最小值(7/2)√2