Question

（2010•崇明县二模）已知函数f(x)＝5−6x，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）由a_n+1=a_n，我们不难根据a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一个关于a的方程，解方程可得a的值．

（2）由a_n+1＞a_n，我们不难根据a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一个关于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知条件进行验证，可得结果．

（3）我们可以根据已知条件中数列的形式，构造出满足条件的无穷数列，然后再结合数列的通项公式进行证明．

（1）由题意得a_n+1=a_n=a，∴a＝

5a −6

a ，得a=2或a=3，符合题意

（2）设a_n+1＞a_n，即

5an−6

an＞an，解得a_n＜0或2＜a_n＜3

∴要使a₂＞a₁成立，则a₁＜0或2＜a₁＜3

①当a₁＜0时，

a2＝

5a1−6

a1＝5−

6

a1＞5，

而a3−a2＝

5a2−6

a2−a2＝

−(a2−2)(a2−3)

a2＜0，

即a₃＜a₂，不满足题意．

②当2＜a₁＜3时，

a2＝5−

6

a1∈(2，3)，a3＝5−

6

a2∈(2，3)，

a_n∈（2，3），

此时，an+1−an＝

5an−6

an−an＝

−(an−2)(an−3)

an＞0，

∴a_n+1＞a_n，满足题意．

综上，a∈（2，3）

（3）构造数列{b_n}：b1＝

3

2，bn+1＝

6

5−bn，

下面证明满足要求．

此时bn＝5−

6

bn+1，不妨设a取b_n，

那么a2＝5−

6

a1＝5−

6

bn＝bn−1，a

点评：

本题考点： 数列的函数特性；数列的应用．

考点点评： 已知函数f(x)＝5−6x，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．当an+1=an成立时，可以用方程思想解决问题，当an+1＞an成立时，可以用不等式思想，求实数a的取值范围；这其实是函数、方程、不等式之间的相互转换，也是数列的函数特征最好的体现．