Question

a(-1,0),b(1,0),p在圆周(x-3)*(x-3)+(y-4)*(y-4)=4上,求使ap*ap+bp*bp最

Answer 1

∵(x-3)^2+(y-4)^2=4

利用三角换元,令:

{x=3+2cost

{y=4+2sint

则有:

AP^2=(x+1)^2+(y-0)^2

BP^2=(x-1)^2+(y-0)^2

∴AP^2+BP^2

=2x^2+2+2y^2

=2(x^2+y^2)+2

=2OP^2+2

OP最小时AP^2+BP^2取最小值

O与圆心相连与圆的交点中离O近的那个即为所求

∴tant=4/3

cost=-3/5

sint=-4/5

解得:

x=3-6/5=9/5

y=4-8/5=12/5

∴P(9/5,12/5)

当然,不用三角换元也可以,再提供一个思路:

在△APB中,有AP^2+BP^2=1/2*(4OP^2+BP^2)

即当OP最小时,AP^2+BP^2取最小值

而OP(min)=5-2=3

∴Px=3*3/5=9/5

Py=3*4/5=12/5

∴P(9/5,12/5)