Question

（附加题）（1）对于任意给定的一个矩形C，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍？请说明你的理由；

Answer 1

解题思路：（1）由题意可知：分别设出已知矩形和所求矩形的长与宽，再根据周长和面积的关系可以列出两个关系式，观察两个关系式可得一个根为xy的一元二次方程，再根据判别式可以确定方程是否有解，进而确定所求矩形是否存在；

（2）方法与（1）一样．

（1）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．

则

x+y＝2(a+b)

xy＝2ab

∴x，y是方程t²-2（a+b）t+2ab=0的两实根．

∵△=4（a+b）²-8ab=4（a²+b²）＞0，∴方程有解．

所以，对于长与宽分别为a，b矩形，存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形；

（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．

则

x+y＝m(a+b)

xy＝mab

∴x，y是方程t²-m（a+b）t+mab=0的两实根．

当△=[m（a+b）]²-4mab≥0，即m≥

4ab

(a+b)2时，方程有解．

所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当m≥

4ab

(a+b)2时，存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形．

∵（a-b）²≥0，

∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，

即（a+b）²≥4ab，

4ab

(a+b)2≤1，

∴

4ab

(a+b)2的最大值为1．

∴当m≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；根的判别式；矩形的性质．

考点点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．