Question

一道关于正方形的数学题已知：正方形ABCD 等边三角形CDE EG⊥BF交CD于点G 求证：三角形FGB为等边三角形

Answer 1

连接AE

因为△CDE为等边,ABCD为正方形,所以ED=EC=CD=AD=BC,

所以△ADE全等于△CBE为等腰△,所以EA=EB

∠EDC=60°,所以∠ADE=30°,∠DAE=∠DEA=75°

同理得∠ECB=∠EBC=75°

因为EG⊥BF,即∠GEB=∠GEF=90°

所以∠GEC=15°因为∠DEC=60°所以∠DEG=45°,所以∠DEF=45°

又因为∠ADE=30°,所以∠AFE=∠ADE+∠DEF=45°+30°=75°=∠DAE

所以AE=EF=EB,即E是FB的中点且GE垂直于BF

所以FG=BG

因为EG⊥BF,即∠GEF=90°,

因为∠FDG=90°,∠FDG+∠FEG=180°,

所以D、G、E、F四点共圆,（若四边形对角互补,则四边形内接于圆）

所以∠EFG=∠EDG,（同弧圆周角相等）,

因为△EDC是正△,

所以∠EDC=60°,

所以∠EFG=60°,又FG=BG

所以△FGB为等边三角形