斜三棱柱ABC-A′B′C′中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为 b,侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角,

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  • 解题思路:(1)先判断斜三棱柱ABC-A′B′C′的三个侧面的形状,分别求出面积再相加,即为斜三棱柱的侧面积.

    (2)斜三棱柱的体积等于底面积乘高,因为底面三角形是边长为a的正三角形,面积易求,所以只需求出高即可,利用所给线线角的大小即可求出.

    (1)∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角,

    ∴三棱柱的三个侧面中,四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°,相邻两边长分别为a,b的平行四边形,第三个侧面是边长分别为a,b的矩形.

    ∴s侧=2absib45°+ab=(

    2+1)ab

    (2)过A1作A1O垂直于底面ABC,交底面ABC于O点,作A1D⊥AB,交AB于D点,连接DO,由题意,则

    AD=

    2b

    2,A1D=

    2b

    2,∴AO=

    6b

    3,A1O=

    3b

    3

    ∴V=[1/2]×

    3a

    2a

    3b

    3=

    1

    4a2

    点评:

    本题考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

    考点点评: 本题主要考查了斜三棱柱的侧面积与体积的求法,属于立体几何的基础题.