Question

数分证明习题 e的x次方大于1加x的平方,用泰勒公式证明

Answer 1

用泰勒公式把它在x=0处展开得麦克劳林公式f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x).其中x0=0.取前三项.有

e^x=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!*x^2,+f'''(0)/3!*(x)^3

那么原题转化为1+x+1/2x^2+1/6x^3>1+x^2.令g(x)=x+1/6x^3-1/2x^2,求导,g'(x)=1+1/2x^2-x.判别式0的.所以由x=0时g(x)=0.问题证毕||