能想到伟达定理是很好的,但是数学中的定理不能胡用,否则很容易发生你说的情况,即变成“死循环”.
总的来说,在做题之前,应该先有一个初步的认识,如：
已知什么,要求什么；
已知的条件可以推出什么；
要求的东西有没有什么特点,有哪些特点可以和已知的条件或者可求的结论联系起来；
有没有一些经典的模型可以用上……等等.
当你做完这一步后,你的脑中就应该形成一个初步的思路,一个大致的解题方向.不要求太精细、太明确,毕竟数学中很多东西是“试”出来的,一个方法不行,还可以换另一种方法嘛!
然后你要做的就是顺着这条路做,能做出来最好,做不出来的话,要回头重新认识题目,寻找新的突破口.
以“圆锥曲线求过定点与曲线交点的中点”这类题目为例：
一般这类题目中,定点肯定是已知的,圆锥曲线方程是已知的或很容易求出的.要求的是中点坐标.
定点坐标已知,接下来肯定就是设直线方程（注1）.
要求中点坐标,由于中点坐标中有x1+x2、y1+y2的结构出现,因此应该很容易想到伟达定理,而要用伟达定理,就一定要先找到我们所需要的一元二次方程.同时,伟达定理也把要求的结论与已知的条件联系起来了.
于是,联立直线方程和圆锥曲线方程,得到一个二次方程①,该方程的解应该就是交点的横纵坐标中的一个（注2）.至此,伟达定理可以用了.
设出中点坐标（我以(a,b)为例）,则有2a=x1+x2,后者用伟达定理带入①方程的系数,即可求出a（应该是一个函数）；然后,利用直线方程中y与x的关系即可得到b（a、b应该满足直线方程）.
注：
1、设方程时建议用点斜式,设成y=k(x-p)+q或者x=m(y-p)+q的形式,但是注意要看是否需要讨论k、m不存在时的情况（分别对应垂直于x轴、垂直于y轴的情况）.
2、具体得到的是横坐标还是纵坐标,要看你得到的①方程是关于x的方程还是关于y的方程了.如果是关于y的方程,则会先由2b=y1+y2得到b,然后利用直线方程求出a.