解题思路：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明，
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等，
③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
（2）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；
（3）根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论；
（4）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
（1）①∵AH=BG，AH∥BG，
∴四边形ABGH是平行四边形，
又∵BG=AB，∴平行四边形ABGH是菱形，
即四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；（2分）
②连接AC、BD，则EF=
1
2AC，EF∥AC；GH=
1
2AC，GH∥AC
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵BD=AC，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；（3分）
③∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF垂直平分对角线AC，
∴FA=FC
∴平行四边形AECF是菱形，
即四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．（4分）
（2）∵S菱形ABGH=a2＜a•AE=S菱形AECF
S菱形EFGH=
1
2EG•FH＜
1
2AC•FE=S菱形AECF，
∴图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的．（7分）
（3）∵S菱形ABGH=a2，S菱形EFGH=
1
2EG•FH=
1
2ab
当a＞
1
2b时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；
当a=
1
2b时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；
当a＜
1
2b时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．（9分）
（4）在矩形ABCD中，还能画出第4种矩形内接菱形
（答案不唯一）．如图，AH=CF，EG垂直平分对角线FH．（10分）
点评：
本题考点： 菱形的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
考点点评： 本题综合性较强，主要考查菱形的判定和面积，对学生要求较高，需要在平时的学习中不断努力．