Question

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B1E=[1/2]． &

Answer 1

解题思路：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明B₁D⊥平面D₁AC．

（2）求出平面AEC的法向量，利用向量法能求出直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．

（1）证明：

以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，

B₁（2，2，2），D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），

DB1=（2，2，2），

AD1=（-2，0，2），

AC=（-2，2，0），

∵

DB1•

AD1=0，

DB1•

AC=0，

∴B₁D⊥AD₁，BD₁⊥AC，

又AD₁∩AC=A，

∴B₁D⊥平面D₁AC．

（2）∵O（1，1，0），E（2，2，

3

2），

∴

OD1=（-1，-1，2），

AE=（0，2，[3/2]），

设平面AEC的法向量

n=（x，y，z），则

n•

AE＝2y+

3

2z＝0

n•

AC＝−2x+2y＝0，取z=4，得

n=（3，3，4），

设直线D₁O与平面AEC所成角的为θ，

sinθ=|cos＜

n，

D1O＞|=|

−3−3+8

34•

6|=

51

51．

∴直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值为

51

51．

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．