求和:Sn=1/3+2/3^2+3/3^3+4/3^4+·······+n/3^n

1个回答

  • Sn=1/3+2/3^2+3/3^3+4/3^4+·······+(n-1)/3^(n-1)+n/3^n

    3Sn=1+2/3+3/3^2+4/3^3+.+(n-1)/3^(n-2)+n/3^(n-1)

    3Sn-Sn=2Sn

    =1+2/3-1/3+3/3^2-2/3^2+4/3^3-3/3^4+.+n/3^(n-1)-(n-1)/3^(n-1)-n/3^n

    =1+1/3+1/3^2+1/3^3+.1/3^(n-1)-n/3^n

    除了最后一个,前面n项是公比为1/3,首项a1=1的等比数列

    2Sn=1*(1-1/3^n)/(1-1/3)-n/3^n

    =3/2-3/2*1/3^n-n/3^n

    =3/2-(3/2+n)*1/3^n

    Sn=3/4-(3/4+n/2)*1/3^n