解题思路：（1）根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．
（3）利用当B，E重合时，利用已知得出△ABP∽DPC，进而求出DP的长即可；
（4）利用当PC与CD越接近重合时，得出FC无限大，当P在AD中点时最小得出即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．
（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的4倍，得到两三角形的相似比为4，
∴[CD/AP]=4即[4/10−x]=4，
解得x=9，
此时DP=9；
（3）在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴[AB/PD]=[AP/CD]，
[4/DP]=[10−DP/4]，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合时DP的长为2或8；
（4）∵当PC与CD越接近重合时，得出FC无限大，
∴线段FC的长没有最大值，
∵当P在AD中点时，FC最小，
∵∠EPC=90°，∴∠DPC+∠APE=90°，
∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠APE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAP∽△PDC，
∴[EA/DP]=[AP/CD]，
∴[4+BE/5]=[5/4]，
∴BE=[9/4]，
∵BF∥AP，
∴△EBF∽△EAP，
∴[EB/EA]=[BF/AP]，
∴
9
4
4+
9
4=[BF/5]，
解得：BF=[9/5]，
∴FC=10-[9/5]=[41/5]，
∴线段FC的长有最小值为[41/5]．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；两点间的距离；勾股定理；矩形的性质．
考点点评： 此题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及线段最值问题，根据已知得出假设当B，E重合时利用相似三角形的判定得出是解题关键．