Question

各项均为正数的数列{a n }中，a 1 =1，S n 是数列{a n }的前n项和，对任意n∈N * ，有2S n =

Answer 1

（1）∵a ₁=1，对任意的n∈N*，有2S _n=2pa _n ²+pa _n-p

∴2a ₁=2pa ₁ ²+pa ₁-p，即2=2p+p-p，解得p=1；

（2）2S _n=2a _n ²+a _n-1，①

2S _n-1=2a _n-1 ²+a _n-1-1，（n≥2），②

①-②即得（a _n-a _n-1-

1

2 ）（a _n+a _n-1）=0，

因为a _n+a _n-1≠0，所以a _n-a _n-1-

1

2 =0，

∴ a n =

n+1

2

（3）2S _n=2a _n ²+a _n-1=2×

(n+1) 2

4 +

n+1

2 -1 ，

∴S _n=

n 2 +3n

4 ，

∴ b n =

4 S n

n+3 • 2 n =n•2 ⁿ

T _n=1×2 ¹+2×2 ²+…+n•2 ⁿ③

又2T _n=1×2 ²+2×2 ³+…+（n-1）•2 ⁿ+n2 ⁿ⁺¹ ④

④-③T _n=-1×2 ¹-（2 ²+2 ³+…+2 ⁿ）+n2 ⁿ⁺¹=（n-1）2 ⁿ⁺¹+2

∴T _n=（n-1）2 ⁿ⁺¹+2