Question

已知:a,b,c,d为正有理数,且满足a四方+b四方+c四方+d四方=4abcd.求证:a=b=c=d.

Answer 1

添-2a^2b^2,+2a^2b^2和-2c^2d^2,+2c^2d^2

原式=a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0

(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)+(2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2)=0

(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)+2(ab-cd)^2=0

因为平方数≥0,所以a^2-b^2=0①

c^2-d^2=0②

ab-cd=0 ③

因为线段不为负,所以a=b c=d和起来代入③就可以得到结果了.