Question

已知数列{a n }中，a 1 =3，a 2 =5，S n 为其前n项和，且满足S n +S n-2 =2S n-1 +

Answer 1

（1）由 S n + S n-2 =2 S n-1 + 2 n-1 得 a n = a n-1 + 2 n-1 (n≥3，n∈N*) ，

∵a ₂=5，∴当n≥3时，a _n=a ₂+（a ₃-a ₂）+（a ₄-a ₃）+…+（a _n-a _n-1）=5+2 ²+2 ³+…+2 ^n-1=2 ⁿ+1，

经验证a ₁=3，a ₂=5也符合上式，

∴ a n = 2 n +1(n∈ N * ) ；

（2）由（1）可得 b n =

n

a n -1 =

n

2 n ，

∴ T n =

1

2 +

2

2 2 +

3

2 3 +…+

n

2 n ① ⇒

1

2 T n =

1

2 2 +

2

2 3 +…+

n-1

2 n +

n

2 n+1 ②，

①-②有：

1

2 T n =

1

2 +

1

2 2 +

1

2 3 +…+

1

2 n -

n

2 n+1 =1-

1

2 n -

n

2 n+1 ，

∴ T n =2-

n+2

2 n ；

（3）∵ f(x)= 2 x-1 ， c n =

1

a n a n+1 ，

∴ c n f(n)=

2 n-1

( 2 n +1)( 2 n+1 +1) =

1

2 (

1

2 n +1 -

1

2 n+1 +1 )(n∈N*) ，

∴Q _n=c ₁f（1）+c ₂f（2）+…+c _nf（n）

=

1

2 [(

1

2 1 +1 -

1

2 2 +1 )+(

1

2 2 +1 -

1

2 3 +1 )+…+(

1

2 n +1 -

1

2 n+1 +1 )]

=

1

2 (

1

1+2 -

1

2 n+1 +1 )＜

1

2 ×

1

3 =

1

6 ．