Question

（2010•崇文区二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn-1=0（n≥2，n∈N*），a1=[

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）a_n+2S_n•S_n-1=0整理得

1

S

n

−

1

S

n−1

＝2

判断出{

1

S

n

}是等差数列．

（Ⅱ）根据等差数列的通项公式求得

1

S

n

，则S_n可得．进而根据a_n=S_n-S_n-1求得n≥2时数列的通项公式，进而求得a₁，则数列的通项公式可得．

（Ⅲ）把（Ⅱ）中的a_n代入b_n=2（1-n）a_n中求得

b

n

2

＝

1

n

2

，进而利用裂项法求得答案．

（Ⅰ）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，

所以

1

Sn−

1

Sn−1＝2 (n≥2，n∈N*)，故{

1

Sn}是等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1

Sn＝2n，

所以Sn＝

1/2n]．an＝Sn−Sn−1＝

1

2n−

1

2(n−1) (n≥2)

所以an＝

1

2，(n＝1)

−

1

2n(n−1)，(n≥2).

（Ⅲ）bn＝2(1−n)•[−

1

2n(n−1)]＝

1

n(n≥2)

所以

b2n＝

1

n2＜

1

n(n−1)＝

1

n−1−

1

n(n≥2)

b₂²+b₃²++b_n²＜1−

1

2+

1

2−

1

3++

1

n−1−

1

n＝1−

1

点评：

本题考点： 等差关系的确定；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的性质和等差关系的确定．对于数列求和问题，应注意掌握裂项法、错位相减、叠加法等方法．