《相似三角形》中考复习题及答案
一.选择题
(1)△ABC中,D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,那么下列各式正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
(2)在△ABC中,BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15,则最长边是( )
A.138 B. C.135 D.不确定
(3)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠ABC的平分线交AC于D,则构成的三个三角形中,相似的是( )
A.△ABD∽△BCD B.△ABC∽△BDC
C.△ABC∽△ABD D.不存在
(4)将三角形高分为四等分,过每个分点作底边的平行线,将三角形分四个部分,则四个部分面积之比是（ ）
A.1∶3∶5∶7 B.1∶2∶3∶4 C.1∶2∶4∶5 D.1∶2∶3∶5
(5)下列命题中,真命题是( )
A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似
C.底角为40°的两个等腰梯形相似 D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似
(6)直角梯形ABCD中,AD为上底,∠D=Rt∠,AC⊥AB,AD=4,BC=9,则AC等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
(7)已知CD为Rt△ABC斜边上的中线,E、F分别是AC、BC中点,则CD与EF关系是( )
A.EF＞CD B.EF=CD C.EF＜CD D.不能确定
(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同,对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点.OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC.其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(9)D为△ABC的AB边上一点,若△ACD∽△ABC,应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC2=AB·AD,其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(10)下列命题错误的是( )
A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角,则它们相似
B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比,则它们相似
C.如果两个平行四边形相似,则它们对应高的比等于相似比
D.对应角相等,对应边成比例的两个多边形相似
二、填空题
(1)比例的基本性质是________________________________________
(2)若线段a=75px,b=300px,a、b的比例中项c=________,a、b、c的第四比例线段d=________
(3)如下图,EF∥BC,若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=________,BN∶NC=________
(4)有同一三角形地块的甲乙两地图,比例尺分别为1∶200和1∶500,则甲地图与乙地图的相似比为________,面积比为________
(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2,则它们对应边上的高之比为________
(6)已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高,则CD2=________
(7)把一个三角形改成和它相似的三角形,如果边长扩大为原来的10倍,那么面积扩大为原来的____倍,周长扩大为原来的______倍.
(8)Rt△ABC中,∠C=90°,CD为斜边上的高.若AC∶AB=4∶9,则AD∶BD=________
(9)把1550px的线段分成三部分,它们的比为3∶2∶5,则最长段为________
(10)若D为△ABC边BC之中点,E为AD的中点,BE交AC于F,则AF∶FC=________
三、.已知平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,求△AEF与△CDF的周长比,如果S△AEF=150px2,求S△CDF.
四.如下图,已知在△ABC中,AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线,交BC延长线于E.求证：DE2=BE·CE.
五、已知如图,在平行四边形ABCD中,DE=BF,求证：=.
六、过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E,求证：AE∶ED=2AF∶FB.
七、如果四边形ABCD的对角线交于O,过O作直线OG∥AB交BC于E,交AD于F,交CD的延长线于G,求证：OG2=GE·GF.
八、如下图,在△ABC中,D、E分别为BC的三等分点,CM为AB上的中线,CM分别交AE、AD于F、G,则CF∶FG∶GM=5∶3∶2
九、如下图,△ABC中,AD∥BC,连结CD交AB于E,且AE∶EB=1∶3,过E作EF∥BC,交AC于F,S△ADE=50px2,求S△BCE,S△AEF.
十、已知：线段AB,分点C将AB分成3∶11两组,分点D将AB分成5∶9两段,且CD=100px,求AB的长.
十一、下图中,E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,AE∶EC=1∶3,BE的延长线交CD的延长线于G,交AD于F,求证：BF∶FG=1∶2.
参考答案
一..(1)C (2)A (3)B (4)A (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10)D
二.(1)略 (2)6,24 (3)2∶3,1∶2 (4)5∶2；25∶4 (5)∶2 (6)AD·BD (7)100,10 (8)16∶65 (9)31 (10)1∶2
三.1∶3,S△CDF=1350px2
四.提示：连接AE,则AE=DE,证△AEC∽△BEA
五.略 六.略
七.提示：过E点作EH∥BD交CD于H,连接HO,由=得HO∥AD,这时=,由OD∥EH,得=,即可证
八、略
九.提示：连接MD,证F为MC中点,MD=2EF,AE=2MD,∴CF∶GF∶GM=5∶3∶2
十.S△BCE=450px2 S△AEF＝37.5px2 282px
十一略.
十二.△AEF∽△CEB,AF∶BC=AF∶AD=1∶3,则AF∶FD=1∶2,又△ABF∽△GDF,则BF∶FG=1∶2
2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)
例5
如图1,抛物线经过点A(4,0)、B（1,0)、C（0,－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在,请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,△PAM的形状在变化,分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”,可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”, 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动,观察△DCA的形状和面积随D变化的图象,可以体验到,E是AC的中点时,△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便．
2．数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B（1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标（0,－2）,解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设点P的坐标为．
①如图2,当点P在x轴上方时,1＜x＜4,．
如果,那么．解得不合题意．
如果,那么．解得．
此时点P的坐标为（2,1）．
②如图3,当点P在点A的右侧时,x＞4,．
解方程,得．此时点P的坐标为．
解方程,得不合题意．
③如图4,当点P在点B的左侧时,x＜1,．
解方程,得．此时点P的坐标为．
解方程,得．此时点P与点O重合,不合题意．
综上所述,符合条件的 点P的坐标为（2,1）或或．
图2 图3 图4
（3）如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为．所以．
因此．
当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为（2,1）．
图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样
如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m,n）,那么
．
由于,所以．
例6
如图1,△ABC中,AB＝5,AC＝3,cosA＝．D为射线BA上的点（点D不与点B重合）,作DE//BC交射线CA于点E.．
(1) 若CE＝x,BD＝y,求y与x的函数关系式,并写出函数的定义域；
(2) 当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时,求DE的长度；
(3) 当点D在AB边上时,BC边上是否存在点F,使△ABC与△DEF相似?若存在,请求出线段BF的长；若不存在,请说明理由．
图1 备用图 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“09闸北25”,拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”,拖动点D可以体验到两圆可以外切一次,内切两次．
双击按钮“第（3）题”,再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”,可以体验到,△DEF为等腰三角形．
思路点拨
1．先解读背景图,△ABC是等腰三角形,那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．
2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件,注意点E的位置不同,DE、MN表示的形式分两种情况．
3．求两圆相切的问题时,先罗列三要素,再列方程,最后检验方程的解的位置是否符合题意．
4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论,运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．
满分解答
（1）如图2,作BH⊥AC,垂足为点H．在Rt△ABH中,AB＝5,cosA＝,所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC,△ABC 为等腰三角形,AB＝CB＝5．
因为DE//BC,所以,即．于是得到,（）．
（2）如图3,图4,因为DE//BC,所以,即,．因此,圆心距．
图2 图3 图4
在⊙M中,在⊙N中,．
①当两圆外切时,．解得或者．
如图5,符合题意的解为,此时．
②当两圆内切时,．
当x＜6时,解得,如图6,此时E在CA的延长线上,；
当x＞6时,解得,如图7,此时E在CA的延长线上,．
图5 图6 图7
（3）因为△ABC是等腰三角形,因此当△ABC与△DEF相似时,△DEF也是等腰三角形．
如图8,当D、E、F为△ABC的三边的中点时,DE为等腰三角形DEF的腰,符合题意,此时BF＝2.5．根据对称性,当F在BC边上的高的垂足时,也符合题意,此时BF＝4.1．
如图9,当DE为等腰三角形DEF的底边时,四边形DECF是平行四边形,此时．
图8 图9 图10 图11
考点伸展
第（3）题的情景是一道典型题,如图10,如图11,AH是△ABC的高,D、E、F为△ABC的三边的中点,那么四边形DEHF是等腰梯形．
例 7
如图1,在直角坐标系xOy中,设点A（0,t）,点Q（t,b）．平移二次函数的图象,得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣