解题思路：要想这个多位数尽可能大，选出的数要尽可能多．如果这个数是七位数，选出的数中肯定有 5，那么这个数要能被 5 整除，个位只能是 5，那么这个数肯定不能被 2、4、6 整除，所以不能选 2、4、6，矛盾．
如果这个数是六位数，除了 5 之外都要选出来，但是1+2+3+4+6+7=23，这个六位数肯定不能被 3 整除，所以 3 也不能选，矛盾．
如果这个数是五位数，5 不能选，如果没有选 3，那么 6 也不能选，所以肯定选了 3，由能被3整除的判定，只有1+3+4+6+7=21 满足条件，所以这个五位数是由 1、3、4、6、7构成．
五位数能被 4 整除，那么末两位能被 4 整除，只能是 16、36 或 64．
如果末两位是 16：最大的 74316 不能被 7 整除，次大的 73416 能被 7 整除．
如果末两位是 36：最大的 74136 不能被 7 整除，之后的数小于 73416．
如果末两位是 64：最大的 73164 小于 73416．
综上述，这个多位数是 73416．
如果是七位数，则选出的数中肯定有 5，那么这个数要能被 5 整除，个位只能是 5，那么这个数肯定不能被 2、4、6 整除，矛盾．
如果这个数是六位数，不选5，1+2+3+4+6+7=23，这个六位数肯定不能被3整除，所以 3 也不能选，矛盾．
如果这个数是五位数，5不能选，如果没有选 3，那么 6 也不能选，所以肯定选了3，
由能被3整除的判定，只有1+3+4+6+7=21 满足条件，所以这个五位数是由 1、3、4、6、7构成．
然后根据能被4整除数的特征可知，这个数是：73416．
点评：
本题考点： 最大与最小；数的整除特征；筛选与枚举．
考点点评： 根据数的整数特征分析，用枚举法完成是完成本题的关键．