Question

已知函数f（x）=|x2-k-1|-kx．

Answer 1

（1）若k=1，函数f（x）=|x²-k-1|-kx=|x²-2|-x．

当 x² ≥2时，f（x）=x²-2-x，由f（x）=0 解得 x=-1 或 x=2（舍去）．

当 x² ＜2时，f（x）=2-x² -x，f（x）=0 解得 x=-2（舍去）或x=1．

综上，x=-1 或x=1．

（2）若k＞0，不等式f（x）≤0，即|x²-k-1|≤kx．

①由|x²-k-1|=kx，解得 x=1 或 x=k+1，结合图象可得 方程|x²-k-1|=kx 的解为x=1 和 x=k+1，

故不等式f（x）≤0的解集 A={x|1≤x≤k+1}．

②若集合B={x|（x-1）（x-2）（x-3k）≥0}，A={x|1≤x≤k+1}

当 0＜3k＜1时，B={x|1≥x≥3k 或 x≥2}，由A⊆B 可得 k不存在．

当3k=1时，B={x|x≥2}，A⊆B不可能．

当2＞3k＞1时，B={x|3k≥x≥1 或 x≥2}，由A⊆B 可得k+1≤3k，k≥[1/2]，从而可得 [2/3]＞k≥[1/2]．

当3k=2时，B={x|x≥1}，A⊆B 恒成立，故 k=[2/3]满足条件．

当3k＞2时，B={x|x≥3k 或1≤x≤2}，由A⊆B 可得k+1≤2，k≤1，从而可得1≥k＞[2/3]．

综上可得 1≥k≥[1/2]，故实数k的取值范围为[[1/2]，1]．