Question

过 y=ax^2（a大于0）的焦点 F作直线交抛物线与 P,Q两点,若 PF与 FQ的长分别是p,q ,则1/p+1/q

Answer 1

解选择题要讲技巧,比如特殊值法

抛物线标准方程 x²=(1/a)y,焦点(0,1/4a)

假设PQ垂直于y轴,

求P,Q横坐标,x²=(1/a)(1/4a),x=1/2a或-1/2a

1/|PF|+1/|FQ|=2a+2a=4a

方便,快捷

考试时省时省力.

或

抛物线：x²=y/a ===> 焦点F(0,1/(4a))

设直线参数方程：x=tcosT,y=1/(4a)+tsinT（tanT为直线的斜率）

代入抛物线方程：1/(4a)+tsinT=a(tcosT)²

===> (4a²cos²T)t²-(4asinT)t-1=0

===> t1+t2=sinT/(acos²T),t1t2=-1/(4a²cos²T)

===> (t1-t2)²=(t1+t2)²-4t1t2=sin²T/(acos²T)²+1/(acosT)²=1/(acos²T)²

===> |t1-t2|=1/(acos²T)=-t1t2*(4a)

===> |PQ|=|PF|+|FQ|=(|PF||FQ|)(4a)

===> 1/|PF|+1/|FQ|=4a