如图,已知直线y=12x与双曲线y=kx(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.

1个回答

  • 解题思路:(1)把A点的横坐标代入直线y=[1/2]x求出x的值即可得出A点坐标,再根据点A在反比例函数y=[k/x]上即可得出k的值;由于反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称即可得出B点坐标;

    (2)先由点C的纵坐标为8求出C点坐标,分别过点C、A作CD⊥x轴,AE⊥x轴,连接OC,则S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE,故可得出结论.

    (3)若AP=BP则点P在线段AB的垂直平分线上,与点P在坐标轴上相矛盾,故此种情况不存在,再分点P在x轴上与y轴上两种情况进行讨论即可.

    (1)∵直线y=

    1

    2x与双曲线y=

    k

    x(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4,

    ∴y=

    1

    2×4=2,

    ∴A(4,2),

    ∴k=4×2=8;

    ∵反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称,

    ∴A、B两点关于原点对称,

    ∴B(-4,-2);

    (2)

    如图,∵由(1)知k=8,

    ∴反比例函数的解析式为:y=

    8

    x,

    ∵C点的纵坐标为8,

    ∴8=

    8

    x,解得x=1,

    ∴C(1,8),

    分别过点C、A作CD⊥x轴,AE⊥x轴,连接OC,

    ∵A(4,2),C(1,8)

    ∴CD=8,AE=2,DE=4-1=3,

    ∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE,即

    1

    2×8+

    1

    2(8+2)×3-

    1

    2×8=15.

    (3)8个;

    ∵A(4,2),B(-4,-2),

    ∴AB=

    (4+4)2+(2+2)2=4

    5,

    当点P在x轴上时,设P(x,0),

    若AP=AB,即

    (4−x)2+22=4

    5,解得x=4±2

    19,

    ∴P1(4+2

    19,0),P2(4-2

    19,0);

    当BP=AB时,

    (x+4)2+22=4

    5,解得x=-4±2

    19,

    ∴P3(-4+2

    19,0),P4(-4-2

    19,0);

    当点P在y轴上时,设P(0,y)

    若AP=AB,即

    42+(2−y)2=4

    5,解得y=±6,

    ∴P5(0,6),P6(0,-6);

    若BP=AB,即

    42+(y+2)2=4

    5,解得y=±10,

    ∴P7(0,10),P8(0,-10),

    综上所述,P点坐标为:P(0,6)、(0,-10)、(-2

    19-4,0)、(-4+2

    19,0)、(4-2

    19,0)、(4+2

    19,0)、(0,-6)、(0,10).

    点评:

    本题考点: 反比例函数综合题.

    考点点评: 本题考查的是反比例函数综合题,涉及到反比例函数与一次函数的交点问题、三角形及梯形的面积公式、等腰三角形的性质等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论,不要漏解.