解题思路:(1)把A点的横坐标代入直线y=[1/2]x求出x的值即可得出A点坐标,再根据点A在反比例函数y=[k/x]上即可得出k的值;由于反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称即可得出B点坐标;
(2)先由点C的纵坐标为8求出C点坐标,分别过点C、A作CD⊥x轴,AE⊥x轴,连接OC,则S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE,故可得出结论.
(3)若AP=BP则点P在线段AB的垂直平分线上,与点P在坐标轴上相矛盾,故此种情况不存在,再分点P在x轴上与y轴上两种情况进行讨论即可.
(1)∵直线y=
1
2x与双曲线y=
k
x(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4,
∴y=
1
2×4=2,
∴A(4,2),
∴k=4×2=8;
∵反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称,
∴A、B两点关于原点对称,
∴B(-4,-2);
(2)
如图,∵由(1)知k=8,
∴反比例函数的解析式为:y=
8
x,
∵C点的纵坐标为8,
∴8=
8
x,解得x=1,
∴C(1,8),
分别过点C、A作CD⊥x轴,AE⊥x轴,连接OC,
∵A(4,2),C(1,8)
∴CD=8,AE=2,DE=4-1=3,
∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE,即
1
2×8+
1
2(8+2)×3-
1
2×8=15.
(3)8个;
∵A(4,2),B(-4,-2),
∴AB=
(4+4)2+(2+2)2=4
5,
当点P在x轴上时,设P(x,0),
若AP=AB,即
(4−x)2+22=4
5,解得x=4±2
19,
∴P1(4+2
19,0),P2(4-2
19,0);
当BP=AB时,
(x+4)2+22=4
5,解得x=-4±2
19,
∴P3(-4+2
19,0),P4(-4-2
19,0);
当点P在y轴上时,设P(0,y)
若AP=AB,即
42+(2−y)2=4
5,解得y=±6,
∴P5(0,6),P6(0,-6);
若BP=AB,即
42+(y+2)2=4
5,解得y=±10,
∴P7(0,10),P8(0,-10),
综上所述,P点坐标为:P(0,6)、(0,-10)、(-2
19-4,0)、(-4+2
19,0)、(4-2
19,0)、(4+2
19,0)、(0,-6)、(0,10).
点评:
本题考点: 反比例函数综合题.
考点点评: 本题考查的是反比例函数综合题,涉及到反比例函数与一次函数的交点问题、三角形及梯形的面积公式、等腰三角形的性质等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论,不要漏解.