Question

（2013•呼伦贝尔）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝−14x2+bx+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴

Answer 1

（1）对称轴为x=-

b

2×(−

1

4)=-2，

解得b=-1，

所以，抛物线的解析式为y=-

1

4x²-x+3，

∵y=-

1

4x²-x+3=-

1

4（x+2）²+4，

∴顶点D的坐标为（-2，4）；

（2）令y=0，则-

1

4x²-x+3=0，

整理得，x²+4x-12=0，

解得x₁=-6，x₂=2，

∴点A（-6，0），B（2，0），

如图1，过点D作DE⊥y轴于E，

∵0≤t≤4，

∴△PAD的面积为S=S_梯形AOED-S_△AOP-S_△PDE，

=

1

2×（2+6）×4-

1

2×6t-

1

2×2×（4-t），

=-2t+12，

∵k=-2＜0，

∴S随t的增大而减小，

∴t=4时，S有最小值，最小值为-2×4+12=4；

（3）如图2，过点D作DF⊥x轴于F，

∵A（-6，0），D（-2，4），

∴AF=-2-（-6）=4，

∴AF=DF，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴∠ADF=45°，

由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，

∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，

∵OF=OB=2，

∴PO为△BDF的中位线，

∴OP=

1

2DF=2，

∴点P的坐标为（0，2），

由勾股定理得，DP=

(−2−0)2+(4−2)2=2

2，

AD=

2AF=4

2，

∴

AD

DP=

4

2

2

2=2，

令x=0，则y=3，

∴点C的坐标为（0，3），OC=3，

∴

OA

OC=

6

3=2，

∴

AD

DP=

OA

OC，

又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，

∴Rt△ADP∽Rt△AOC．