已知四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,连接AE,过点A作∠AFD,使

1个回答

  • 结论:AF=CF+CD

    (1)当四边形ABCD是矩形时,结论仍然成立.

    作EG⊥AF于G,∵∠DFA=2∠EAB,DC∥AB,∴∠DFA=∠EAB+∠EAF,

    ∴2∠EAB=∠EAB+∠EAF,∴∠EAB=∠EAF,∠ABE=∠AGE=90°,AE=AE,

    ∴△EAB≅△EAG(AAS),∴AG=AB=CD,EG=EB=EC,EF=EF,∠ECF=∠EGF=90°,

    ∴△EFC≅△EFG(HL),∴CF=FG,∴AF=FG+AG=CF+CD.

    (2)当四边形ABCD是平行四边形时,结论仍然成立.

    在AF上截取AG=AB,用(1)的方法证∠EAB=∠EAG,AE=AE,∴△EAB≅△EAG(SAS),

    ∴AB=AG=CD,EB=EG=EC,连BG,连CG,则∠BGC=90°,

    显然GB⊥AE(三线合一性质),∴CG∥AE,∠CGF=∠EAG=∠EAB

    ∵∠AFD=∠CGF+∠GCF=2∠EAB,∴∠GCF=∠CGF=∠EAB,∴CF=FG,

    ∴AF=FG+AG=CF+CD.