Question

已知函数f(x)=Inx,g(x)=1/2*x^2+a,若直线l与y=f(x),y=g(x)的图像都相切,且l与f(x)

Answer 1

l与f(x)相切的切点横坐标为1.所以该点为(1,0)

f'(x)=1/x,所以该点切线斜率为k=f'(1)=1

所以切线方程为y=x-1

g'(x)=x,y=x-1与g(x)相切

所以g'(x)=1

所以x=1

所以(1,0)在g(x)上,所以a=g(x)-1/2x^2=-1/2

令h(x)=f(x^2+1)-g(x)=ln(x^2+1)-1/2x^2+1/2

求导数得h'(x)=2x/(x^2+1)-x

然后求解h'(x)=0得驻点,再结合单调性讨论关于x的方程f(x^2+1)-g(x)=k的实数解的个数

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