证明：ə²u/ər²+1/r*əu/ər+1/r^2*ə²u/əa²=ə²u/əx²+ə²u/əy²x=rcosa, y=rsinaəx/ər=cosa, əy/ər=sinaəx/əa=-rsina, əy/əa=rcosaəu/ər=əf/əx*əx/ər+əf/əy*əy/ər=əf/əx*cosa+əf/əy*sina (1)ə²u/ər²=ə(əf/əx)/ər*cosa+ə(əf/əy)/ər*sina=[ə²f/əx²*əx/ər+ə²f/əxəy*əy/ər]*cosa+[ə²f/əyəx*əx/ər+ə²f/əy²*əy/ər]*sina=[ə²f/əx²*cosa+ə²f/əxəy*sina]*cosa+[ə²f/əyəx*cosa+ə²f/əy²*sina]*sina=ə²f/əx²*cos²a+ə²f/əxəy*2sinacosa+ə²f/əy²*sin²a (2)əu/əa=əf/əx*əx/əa+əf/əy*əy/əa=əf/əx*(-rsina)+əf/əy*rcosaə²u/əa²=ə(əf/əx)/əa*(-rsina)+əf/əx*(-rcosa)+ə(əf/əy)/əa*rcosa+əf/əy*(-rsina)=[ə²f/əx²*əx/əa+ə²f/əxəy*əy/əa]*(-rsina)+əf/əx*(-rcosa)+[ə²f/əyəx*əx/əa+ə²f/əy²*əy/əa]*rcosa+əf/əy*(-rsina)=[ə²f/əx²*(-rsina)+ə²f/əxəy*rcosa]*(-rsina)+əf/əx*(-rcosa)+[ə²f/əyəx*(-rsina)+ə²f/əy²*rcosa]*rcosa+əf/əy*(-rsina)=ə²f/əx²*r²sin²a-ə²f/əxəy*2r²sinacosa+ə²f/əy²*r²cos²a -əf/əx*rcosa-əf/əy*rsina (3)ə²u/əx²=ə²f/əx² (4)ə²u/əy²=ə²f/əy² (5)需证明：(2)+(1)/r+(3)/r²=(4)+(5)左边=(ə²f/əx²*cos²a+ə²f/əxəy*2sinacosa+ə²f/əy²*sin²a)+1/r*(əf/əx*cosa+əf/əy*sina)+1/r²*(ə²f/əx²*r²sin²a-ə²f/əxəy*2r²sinacosa+ə²f/əy²*r²cos²a-əf/əx*rcosa-əf/əy*rsina)=(ə²f/əx²*cos²a+ə²f/əxəy*2sinacosa+ə²f/əy²*sin²a)+1/r²*(ə²f/əx²*r²sin²a-ə²f/əxəy*2r²sinacosa+ə²f/əy²*r²cos²a)=(ə²f/əx²*cos²a+ə²f/əy²*sin²a)+(ə²f/əx²sin²a+ə²f/əy²cos²a)=ə²f/əx²+ə²f/əy² =右边∴原方程等式成立