Question

如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=6，O为AB的中点，且以O为圆心的半圆与AC，BC分别相切于点D，

Answer 1

解题思路：（1）连结OD，OC，利用等腰三角形的性质和直角三角形30°角所对的直角边为斜边的一半即可求出半圆的半径；

（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，因为∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：AC²-OC²=AO²，解方程可求出x的值，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积-半圆的面积计算即可．

（1）连结OD，OC，

∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E．

∴OD⊥AC．

∵AC=BC，且O是AB的中点．

∴CO⊥AB，

∴AO=[1/2]AB=3

∵∠C=120°，

∴∠DCO=60°．

∴∠A=30°．

∴在Rt△AOD中，OD=[1/2]AO=[3/2]，

即半圆的半径为[3/2]；

（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，因为∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：

AC²-OC²=AO²，即（2x）²-x²=9，

解得x=

3（x=-

3舍去）

S=[1/2]×6×

3-[1/2]×π×（[3/2]）²=3

3-[9/8]π

∴阴影部分的面积为3

3-[9/8]π．

点评：

本题考点： 切线的性质；扇形面积的计算．

考点点评： 此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的运用以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．