解题思路：当x是6的倍数时，可知f（x）=g（x）=0；当x=2时，g（2x）=g（4）=1，而2g（x）=2g（2）=4，所以g（2x）≠2g（x）；当x∈N时，2x一定是偶数，所以f（2x）=0；当x∈N时，x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f（x）和f（x+3）中有一个为0、一个为1，所以f（x）+f（x+3）=1．
当x是6的倍数时，可知f（x）=g（x）=0，所以①不正确；
当x=2时，g（2x）=g（4）=1，而2g（x）=2g（2）=4，所以g（2x）≠2g（x），故②错误；
当x∈N时，2x一定是偶数，所以f（2x）=0正确；
当x∈N时，x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数，
所以f（x）和f（x+3）中有一个为0、一个为1，
所以f（x）+f（x+3）=1正确．
故答案为：③④．
点评：
本题考点： 函数的值．
考点点评： 本题考查函数的基本性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的灵活运用．