(2013•河池模拟)已知函数f(x)满足下面关系:(1)f(x+π2)=f(x−π2)(2)当x∈(0,π]时

1个回答

  • 解题思路:利用已知条件可得函数f(x)是正确为π的函数,先画出当x∈(0,π]时 f(x)=-cosx的图象,进而据周期再画出定义域内的图象;根据偶函数的性质可画出函数f(x)=lg|x|,即可得出答案.

    由f(x+

    π

    2)=f(x−

    π

    2)可知:f(x+π)=f(x),即函数f(x)是周期为π的周期函数,

    再根据条件:当x∈(0,π]时 f(x)=-cosx,画出图象:

    ∵f(0)=f(π)=1≠0,∴函数f(x)不是奇函数;

    根据图象可知:函数f(x)的图象关于y轴不对称;

    方程f(x)=lg|x|的解的个数是8.

    综上可知:只有①④正确.

    故答案为①④.

    点评:

    本题考点: 命题的真假判断与应用.

    考点点评: 本题综合考查了函数的周期性、单调性及函数的交点,利用数形结合并据已知条件正确画出图象是解题的关键.