解题思路:利用已知条件可得函数f(x)是正确为π的函数,先画出当x∈(0,π]时 f(x)=-cosx的图象,进而据周期再画出定义域内的图象;根据偶函数的性质可画出函数f(x)=lg|x|,即可得出答案.
由f(x+
π
2)=f(x−
π
2)可知:f(x+π)=f(x),即函数f(x)是周期为π的周期函数,
再根据条件:当x∈(0,π]时 f(x)=-cosx,画出图象:
∵f(0)=f(π)=1≠0,∴函数f(x)不是奇函数;
根据图象可知:函数f(x)的图象关于y轴不对称;
方程f(x)=lg|x|的解的个数是8.
综上可知:只有①④正确.
故答案为①④.
点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用.
考点点评: 本题综合考查了函数的周期性、单调性及函数的交点,利用数形结合并据已知条件正确画出图象是解题的关键.