首先承认一下您所给出的方法一是正确的
不过我觉得做变换应该来得简洁一些更好
为此我们可以令u=x+y,v=y
原积分区域D={(x,y)|1≤x+y≤2,xy≥0}
转化为E={(u,v)|1≤u≤2,0≤v≤u}比较方便解答
当然您的第一种解答所用的换元法和凑微分也很妙
下面我们来说明您提供的方法二的不当之处
1.您令x=u^2,y=v^2,您应该给出规定
比如规定u>0,v>0,这样就会避免无缘无故扩大积分的范围
注意：您一定要保证x(u),y(v)是单调地取值,这样保证一一对应
于是您的计算就无缘无故比第一种放大了4倍
2.您在做极坐标变换时犯了一个错误
那就是1≤ρ≤√2
而不是1≤ρ≤2,这样结果又无缘无故扩大了5倍
所以正确值应该是(3/2)*(e-1)