解题思路：（Ⅰ） 当n=1时，求出a2=2，当n≥2时，求得an+1=2an，由此推导出{an}是首项为1，公比为2的等比数列，从而能求出
a
n
＝
2
n−1
．
（Ⅱ） 由
b
n
＝
n
4
a
n
＝
n
4•
2
n−1
=[n
2
n+1
，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）由
k+2
S
k
•(
T
n
+k+1)
=2（
1
2
k
−1
−
1
2
k+1
−1
），能求出
n/
k＝1
k+2
S
k
•(
T
k
+k+1)]=2（1-
1
2
n+1
−1
）＜2，由此推导出存在最小正整数m=2，使不等式
n
k＝1
k+2
S
k
•(
T
k
+k+1)
＜m
对任意正整数n恒成立．
（Ⅰ） 当n=1时，a2=S1+1=a1+1=2，…（1分）
当n≥2时，Sn+1=an+1，Sn-1+1=an，
两式相减得an+1=2an，…（2分）
又a2=2a1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n−1．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知an＝2n−1，
bn＝
n
4an＝
n
4•2n−1=[n
2n+1，
∴Tn＝
1
22+
2
23+
3
24+…+
n
2n+1，
1/2Tn＝
1
23+
2
24+…+
n−1
2n+1+
n
2n+2]，
两式相减得[1/2Tn＝
1
22+
1
23+
1
24+…+
1
2n+1−
n
2n+2]
=
1
22(1−
1
2n)
1−
1
2−
n
2n+2
=
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
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