Question

两个相邻的自然数,使得每个数的个位数之和都能被2006整除.这两个自然数是（ ）和（ ）

Answer 1

相邻的两个自然数M、N,M < N

各位数之和H(X)必然有这样的关系：

1、

当M + 1不发生进位时

H(N) = H(M) + 1

2、

当M + 1发生C次进位时,（例如如99到100时）

H(N) = H(M) + 1 - 9*C

显然要满足题意,必是第二种情况,

即

H(M) = 2006*K

H(N) = 2006*K + 1 - 9*C

推得：9*C - 1能被2006整除,即9*C - 1 = 2006*T,

C = 2006T + 1 = 222*9T + (8T + 1)/9

显然T = 1、10、19 ……,

T最小为1.此时C = 223,即

自然数M + 1时连续发生了223次进位,其末位必有223个9.

又M的各位和能被2006整除

则X + 223*9 = X + 2007 = X + 1 + 2006,X最小为2005,

2005 ÷ 9 = 222 …… 7

则M较小可以是这样的数：连续222个9,1个7,连续223个9

此时N是：连续222个9,1个8,连续223个0

或M最小是这样的数：1个8,连续221个9,1个8,连续223个9

此时N是：1个8,连续222个9,连续223个0

当然还有更多种可能.