已知函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0

7个回答

  • 解题思路:(1)先表示出F(x)的表达式,再根据对任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0,我们可以求出b的值,进而可确定函数f(x)的解析式;

    (2)将(1)中求出的函数f(x)的解析式代入函数g(x)然后求导,将问题转化为g′(x)≤0在(0,1)上恒成立,再利用分离参数法,我们就可以求实数a的取值范围.

    (1)∵函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2

    ∴F(x)=x2+bsinx

    依题意,对任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0,即x2-bsinx=x2+bsinx,

    ∴2bsinx=0对于任意实数x都成立,∴b=0

    所以f(x)=x2-2.

    (2)∵g(x)=x2-2+2(x+1)+alnx,

    ∴g(x)=x2+2x+alnx,

    g′(x)=2x+2+[a/x].

    ∵函数g(x)在(0,1)上单调递减,

    ∴在区间(0,1)上,g′(x)≤0在(0,1)上恒成立.

    即2x2+2x+a≤0在(0,1)上恒成立.

    ∴a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.

    而u(x)=-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减

    ∴a≤-4.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式,考查利用导数研究函数的最值,同时考查了计算能力,属于中档题.