解题思路:(1)先表示出F(x)的表达式,再根据对任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0,我们可以求出b的值,进而可确定函数f(x)的解析式;
(2)将(1)中求出的函数f(x)的解析式代入函数g(x)然后求导,将问题转化为g′(x)≤0在(0,1)上恒成立,再利用分离参数法,我们就可以求实数a的取值范围.
(1)∵函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2
∴F(x)=x2+bsinx
依题意,对任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0,即x2-bsinx=x2+bsinx,
∴2bsinx=0对于任意实数x都成立,∴b=0
所以f(x)=x2-2.
(2)∵g(x)=x2-2+2(x+1)+alnx,
∴g(x)=x2+2x+alnx,
g′(x)=2x+2+[a/x].
∵函数g(x)在(0,1)上单调递减,
∴在区间(0,1)上,g′(x)≤0在(0,1)上恒成立.
即2x2+2x+a≤0在(0,1)上恒成立.
∴a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.
而u(x)=-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减
∴a≤-4.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式,考查利用导数研究函数的最值,同时考查了计算能力,属于中档题.